微分積分例

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 1)$ , $(4, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.5

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + 0)$

ステップ 1.2.7

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1.3.2

$2 x - 4$ に $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$ をかけます。

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1.3.3

$2$ を $2 x - 4$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1.3.3.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 1.4

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{2 ((4) - 2)}{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{2 \cdot 2}{4^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.5.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 4 \cdot 4 + 1}$

ステップ 1.5.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 16 + 1}$

ステップ 1.5.2.3

$16$ から $16$ を引きます。

$\frac{2 \cdot 2}{0 + 1}$

ステップ 1.5.2.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 2}{1}$

ステップ 1.5.3

式を簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{1}$

ステップ 1.5.3.2

$4$ を $1$ で割ります。

$4$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $4$ と与えられた点 $(4, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 4 \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 4 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 4 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.2

$4 \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 4 x + 4 \cdot - 4$

ステップ 2.3.2.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$y = 4 x - 16$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例