微分積分例

$y = \frac{6}{1 + e^{- x}}$ , $(0, 3)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6}{1 + e^{- x}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$ を ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$6 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + e^{- x}$ とします。

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

ステップ 1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + e^{- x}$ で置き換えます。

$6 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 1.3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ をたし算します。

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.5

微分します。

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ステップ 1.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.5.2

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

ステップ 1.5.4

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$6 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

ステップ 1.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 1.6.3

$6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

ステップ 1.6.3.2

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ と $e^{- x}$ をまとめます。

$\frac{6 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 1.7

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$\frac{6 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.8.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{6 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

ステップ 1.8.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

ステップ 1.8.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.8.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.8.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

ステップ 1.8.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 \cdot 1}{2^{2}}$

ステップ 1.8.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{6 \cdot 1}{4}$

ステップ 1.8.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.8.3.1

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{6}{4}$

ステップ 1.8.3.2

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (3)}{4}$

ステップ 1.8.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{3}{2}$ と与えられた点 $(0, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = \frac{3}{2} \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{3}{2} \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot x$

ステップ 2.3.1.2

$\frac{3}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y - 3 = \frac{3 x}{2}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = \frac{3 x}{2} + 3$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{3}{2} x + 3$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例