微分積分例

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

ステップ 1

$x = 4$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

ステップ 1.2.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$y = \sqrt{25 - 16}$

ステップ 1.2.3

$25$ から $16$ を引きます。

$y = \sqrt{9}$

ステップ 1.2.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{3^{2}}$

ステップ 1.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 3$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{25 - x^{2}}$ を ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 25 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $25 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $25 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

ステップ 2.8

総和則では、 $25 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.9

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 2.13

項を簡約します。

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ステップ 2.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 2.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 2.13.3

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 2.14.1

$2$ を $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.16

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17

分母を簡約します。

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ステップ 2.17.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.17.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.2

$25$ から $16$ を引きます。

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.17.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.17.5.1

共通因数を約分します。

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.17.5.2

式を書き換えます。

$- \frac{4}{3^{1}}$

ステップ 2.17.6

指数を求めます。

$- \frac{4}{3}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{4}{3}$ と与えられた点 $(4, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.4

$x$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.5

$- \frac{4}{3} \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

ステップ 3.3.1.5.2

$4$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

ステップ 3.3.1.5.3

$4$ に $4$ をかけます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

ステップ 3.3.1.6

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

ステップ 3.3.2.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.2.3

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$3$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

ステップ 3.3.2.5.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

ステップ 4

微分積分 例

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