微分積分例

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.5

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.7

式を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.7.2

$- 2$ を $e^{- x^{2}}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

ステップ 1.9

$e^{- x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

項を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

ステップ 1.10.2

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

ステップ 1.11

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.12.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.6

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

ステップ 1.12.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + e^{- 0}$

ステップ 1.12.1.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + e^{0}$

ステップ 1.12.1.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 1$

ステップ 1.12.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $1$ と与えられた点 $(0, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3.2

$1 \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 0$ に $1$ をかけます。

$y = x + 0$

ステップ 2.3.2.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$y = x$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例