微分積分例

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

ステップ 1.2.3

${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

ステップ 1.2.3.2

${(3 - (1))}^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = {(3 - (1))}^{2}$

ステップ 1.2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = {(3 - 1)}^{2}$

ステップ 1.2.3.4

$3$ から $1$ を引きます。

$y = 2^{2}$

ステップ 1.2.3.5

$2$ を $2$ 乗します。

$y = 4$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

${(3 - x)}^{2}$ を $(3 - x) (3 - x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(3 - x) (3 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

ステップ 2.3.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

ステップ 2.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

ステップ 2.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

ステップ 2.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

ステップ 2.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

ステップ 2.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

ステップ 2.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5

微分します。

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ステップ 2.5.1

総和則では、 $9 - 6 x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5.2

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ をたし算します。

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5.4

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5.6

$- 6$ に $1$ をかけます。

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

ステップ 2.5.9

$4$ を $9 - 6 x + x^{2}$ の左に移動させます。

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4

項をまとめます。

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ステップ 2.6.4.1

$- 6$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.2

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.2.1

$x$ を移動させます。

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.2.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.3

$2$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.4

$4$ に $9$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.5

$- 6$ に $4$ をかけます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.6

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.6.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.6.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

ステップ 2.6.4.7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

ステップ 2.6.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

ステップ 2.6.4.7.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

ステップ 2.6.4.8

$- 6 x^{4}$ から $24 x^{4}$ を引きます。

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

ステップ 2.6.4.9

$2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

ステップ 2.6.5

項を並べ替えます。

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

ステップ 2.7

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

ステップ 2.8

簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

ステップ 2.8.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

ステップ 2.8.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

ステップ 2.8.1.4

$- 30$ に $1$ をかけます。

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

ステップ 2.8.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

ステップ 2.8.1.6

$36$ に $1$ をかけます。

$6 - 30 + 36$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.2.1

$6$ から $30$ を引きます。

$- 24 + 36$

ステップ 2.8.2.2

$- 24$ と $36$ をたし算します。

$12$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $12$ と与えられた点 $(1, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$12 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$12$ に $- 1$ をかけます。

$y - 4 = 12 x - 12$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = 12 x - 12 + 4$

ステップ 3.3.2.2

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$y = 12 x - 8$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例