微分積分例

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

ステップ 1

$x = - \frac{π}{4}$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$- \frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

ステップ 1.2.2

$- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

ステップ 1.2.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余割は第四象限で負であるため、式を負にします。

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

ステップ 1.2.2.1.3

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

ステップ 1.2.2.1.4

$- 5 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

ステップ 1.2.2.1.4.2

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

ステップ 1.2.2.2

$5$ から $4$ を引きます。

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = - \frac{π}{4}$ と $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 \cot (x)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- \frac{5 π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{5 π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.2

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

ステップ 2.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$5 \csc^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$5 \csc^{2} (x) + 0$

ステップ 2.4.2

$5 \csc^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$5 \csc^{2} (x)$

ステップ 2.5

$x = - \frac{π}{4}$ で微分係数を求めます。

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

ステップ 2.6.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第四象限で負であるため、式を負にします。

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

ステップ 2.6.3

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

ステップ 2.6.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

ステップ 2.6.4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

ステップ 2.6.4.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

ステップ 2.6.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.6.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.6.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.6.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.5.4.1

共通因数を約分します。

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.6.5.4.2

式を書き換えます。

$5 \cdot 2^{1}$

ステップ 2.6.5.5

指数を求めます。

$5 \cdot 2$

ステップ 2.6.6

$5$ に $2$ をかけます。

$10$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $10$ と与えられた点 $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

ステップ 3.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

ステップ 3.3.1.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.4.4

式を書き換えます。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.1.5

$5$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺から $\frac{5 π}{2}$ を引きます。

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

ステップ 3.3.2.3

$10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

ステップ 3.3.2.3.2

$5 π$ から $5 π$ を引きます。

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

ステップ 3.3.2.4

$0$ を $2$ で割ります。

$y = 10 x + 0 + 1$

ステップ 3.3.2.5

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$y = 10 x + 1$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例