微分積分例

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = e$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1

$e^{x} (2 x)$ から $2 x e^{x}$ を引きます。

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ステップ 1.5.2.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 1.5.2.1.2

$2 x e^{x}$ から $2 x e^{x}$ を引きます。

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 1.5.2.2

$x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 1.5.2.3

$- 2 e^{x}$ と $2 e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + 0$

ステップ 1.5.2.4

$x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x}$

ステップ 1.5.3

$x^{2} e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} x^{2}$

ステップ 1.5.4

$e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x}$

ステップ 1.6

$x = 1$ で微分係数を求めます。

${(1)}^{2} e^{1}$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 e^{1}$

ステップ 1.7.2

$e^{1}$ に $1$ をかけます。

$e^{1}$

ステップ 1.7.3

簡約します。

$e$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $e$ と与えられた点 $(1, e)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - e = e \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$e \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - e = e x + e \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 1$ を $e$ の左に移動させます。

$y - e = e x - 1 \cdot e$

ステップ 2.3.1.3

$- 1 e$ を $- e$ に書き換えます。

$y - e = e x - e$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $e$ を足します。

$y = e x - e + e$

ステップ 2.3.2.2

$e x - e + e$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- e$ と $e$ をたし算します。

$y = e x + 0$

ステップ 2.3.2.2.2

$e x$ と $0$ をたし算します。

$y = e x$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例