微分積分例

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(- 9, - \frac{2}{9})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 9$ と $y = - \frac{2}{9}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- x^{- 2})$

ステップ 1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{- 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 1.6

$x = - 9$ で微分係数を求めます。

$- \frac{2}{{(- 9)}^{2}}$

ステップ 1.7

$- 9$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2}{81}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{2}{81}$ と与えられた点 $(- 9, - \frac{2}{9})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- \frac{2}{9}) = - \frac{2}{81} \cdot (x - (- 9))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{2}{81} \cdot (x + 9)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{2}{81} \cdot (x + 9)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + \frac{2}{9} = 0 + 0 - \frac{2}{81} \cdot (x + 9)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{2}{81} x - \frac{2}{81} \cdot 9$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{2}{81}$ をまとめます。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{x \cdot 2}{81} - \frac{2}{81} \cdot 9$

ステップ 2.3.1.2.3

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{2}{81}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{x \cdot 2}{81} + \frac{- 2}{81} \cdot 9$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$9$ を $81$ で因数分解します。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{x \cdot 2}{81} + \frac{- 2}{9 (9)} \cdot 9$

ステップ 2.3.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{x \cdot 2}{81} + \frac{- 2}{9 \cdot 9} \cdot 9$

ステップ 2.3.1.2.3.4

式を書き換えます。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{x \cdot 2}{81} + \frac{- 2}{9}$

ステップ 2.3.1.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{2 \cdot x}{81} + \frac{- 2}{9}$

ステップ 2.3.1.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y + \frac{2}{9} = - \frac{2 x}{81} - \frac{2}{9}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{2}{9}$ を引きます。

$y = - \frac{2 x}{81} - \frac{2}{9} - \frac{2}{9}$

ステップ 2.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 2 x}{81} + \frac{- 2 - 2}{9}$

ステップ 2.3.2.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$y = \frac{- 2 x}{81} + \frac{- 4}{9}$

ステップ 2.3.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 x}{81} + \frac{- 4}{9}$

ステップ 2.3.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 x}{81} - \frac{4}{9}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{2}{81} x) - \frac{4}{9}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{2}{81} x - \frac{4}{9}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例