微分積分例

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{- x}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.3

$e^{- x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.4.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 1.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 1.5.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 1.5.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

ステップ 1.5.3.4

項を並べ替えます。

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

ステップ 1.6

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

ステップ 1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

ステップ 1.7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

ステップ 1.7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

ステップ 1.7.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

ステップ 1.7.2.4

$- \frac{1}{e} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

ステップ 1.7.2.4.2

$0$ に $\frac{1}{e}$ をかけます。

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

ステップ 1.7.2.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 1}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{1}{e}$

ステップ 1.7.3

$0$ と $\frac{1}{e}$ をたし算します。

$\frac{1}{e}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{e}$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{e}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.3

$\frac{1}{e}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

ステップ 2.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例