微分積分例

$g (x) = e^{x^{7} - 8 x}$ , $(- 1, e^{7})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - 1$ と $y = e^{7}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{7} - 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{7} - 8 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{7} - 8 x$ で置き換えます。

$e^{x^{7} - 8 x} \frac{d}{d x} [x^{7} - 8 x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{7} - 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ です。

$e^{x^{7} - 8 x} (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

ステップ 1.2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

ステップ 1.2.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8 \cdot 1)$

ステップ 1.2.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{7} - 8 x} (7 x^{6} - 8)$

ステップ 1.3

$x = - 1$ で微分係数を求めます。

$e^{{(- 1)}^{7} - 8 \cdot - 1} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$- 1$ を $7$ 乗します。

$e^{- 1 - 8 \cdot - 1} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

ステップ 1.4.1.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 1 + 8} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

ステップ 1.4.2

$- 1$ と $8$ をたし算します。

$e^{7} (7 {(- 1)}^{6} - 8)$

ステップ 1.4.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

$- 1$ を $6$ 乗します。

$e^{7} (7 \cdot 1 - 8)$

ステップ 1.4.3.2

$7$ に $1$ をかけます。

$e^{7} (7 - 8)$

ステップ 1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

$7$ から $8$ を引きます。

$e^{7} \cdot - 1$

ステップ 1.4.4.2

$- 1$ を $e^{7}$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot e^{7}$

ステップ 1.4.4.3

$- 1 e^{7}$ を $- e^{7}$ に書き換えます。

$- e^{7}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- e^{7}$ と与えられた点 $(- 1, e^{7})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (e^{7}) = - e^{7} \cdot (x - (- 1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - e^{7} = - e^{7} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- e^{7} \cdot (x + 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - e^{7} = 0 + 0 - e^{7} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - e^{7} = - e^{7} \cdot (x + 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - e^{7} = - e^{7} x - e^{7} \cdot 1$

ステップ 2.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y - e^{7} = - e^{7} x - e^{7}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $e^{7}$ を足します。

$y = - e^{7} x - e^{7} + e^{7}$

ステップ 2.3.2.2

$- e^{7} x - e^{7} + e^{7}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- e^{7}$ と $e^{7}$ をたし算します。

$y = - e^{7} x + 0$

ステップ 2.3.2.2.2

$- e^{7} x$ と $0$ をたし算します。

$y = - e^{7} x$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例