微分積分例

$y = {(x^{2} - x)}^{3}$ at $(2, 8)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 8$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - x$ で置き換えます。

$3 {(x^{2} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1)$

ステップ 1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(x^{2} - x)}^{2} (2 x - 1)$

ステップ 1.3

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$3 {({(2)}^{2} - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$3 {(4 - (2))}^{2} (2 (2) - 1)$

ステップ 1.4.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 {(4 - 2)}^{2} (2 (2) - 1)$

ステップ 1.4.2

式を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$4$ から $2$ を引きます。

$3 \cdot 2^{2} (2 (2) - 1)$

ステップ 1.4.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 4 (2 (2) - 1)$

ステップ 1.4.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 (2 (2) - 1)$

ステップ 1.4.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$12 (4 - 1)$

ステップ 1.4.2.5

$4$ から $1$ を引きます。

$12 \cdot 3$

ステップ 1.4.2.6

$12$ に $3$ をかけます。

$36$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $36$ と与えられた点 $(2, 8)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (8) = 36 \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$36 \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 8 = 0 + 0 + 36 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 8 = 36 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 8 = 36 x + 36 \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$36$ に $- 2$ をかけます。

$y - 8 = 36 x - 72$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = 36 x - 72 + 8$

ステップ 2.3.2.2

$- 72$ と $8$ をたし算します。

$y = 36 x - 64$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例