微分積分例

$y = \sec (x) - 2 \cos (x)$ , $p = (\frac{π}{3}, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = \frac{π}{3}$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\sec (x) - 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\sec (x) \tan (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x) - 2 (- \sin (x))$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\sec (x) \tan (x) + 2 \sin (x)$

ステップ 1.4

$x = \frac{π}{3}$ で微分係数を求めます。

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$\sec (\frac{π}{3})$ の厳密値は $2$ です。

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 1.5.1.2

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$2 \sqrt{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 1.5.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.5.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.4.1

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.5.1.4.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$

ステップ 1.5.2

$2 \sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$3 \sqrt{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $3 \sqrt{3}$ と与えられた点 $p = (\frac{π}{3}, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

ステップ 2.3.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$- \frac{π}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

ステップ 2.3.1.4.2

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

ステップ 2.3.1.4.3

共通因数を約分します。

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

ステップ 2.3.1.4.4

式を書き換えます。

$y - 1 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π)$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} (- π) + 1$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

括弧を削除します。

$y = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1 π + 1$

ステップ 2.3.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$- 1$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$y = 3 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3} π + 1$

ステップ 2.3.3.2.2

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$y = 3 \sqrt{3} x - \sqrt{3} π + 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例