微分積分例

$f (x) = \sqrt{x} (x - 8)$ , $(16, 32)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 16$ と $y = 32$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 8)]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 8) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11

簡約します。

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ステップ 1.11.1

分配則を当てはめます。

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2

項をまとめます。

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ステップ 1.11.2.1

$x$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.11.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 1.11.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 8 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.4

$- 8$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.5

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.2.6.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.11.2.6.2

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.6.3

式を書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.8

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.9

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.11

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.11.2.12

$2 x^{\frac{1}{2}}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12

$x = 16$ で微分係数を求めます。

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13

簡約します。

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ステップ 1.13.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.13.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.13.1.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.1.4

指数を求めます。

$\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12}{2} - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.3

$12$ を $2$ で割ります。

$6 - \frac{4}{{(16)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.13.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$6 - \frac{4}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.13.1.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.13.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$6 - \frac{4}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 1.13.1.4.3.2

式を書き換えます。

$6 - \frac{4}{4^{1}}$

ステップ 1.13.1.4.4

指数を求めます。

$6 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.13.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.13.1.5.1

共通因数を約分します。

$6 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.13.1.5.2

式を書き換えます。

$6 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.13.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 - 1$

ステップ 1.13.2

$6$ から $1$ を引きます。

$5$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $5$ と与えられた点 $(16, 32)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (32) = 5 \cdot (x - (16))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$5 \cdot (x - 16)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 32 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 16)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 32 = 5 \cdot (x - 16)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 32 = 5 x + 5 \cdot - 16$

ステップ 2.3.1.4

$5$ に $- 16$ をかけます。

$y - 32 = 5 x - 80$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $32$ を足します。

$y = 5 x - 80 + 32$

ステップ 2.3.2.2

$- 80$ と $32$ をたし算します。

$y = 5 x - 48$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例