微分積分例

$y = \frac{1 + x}{8 + e^{x}}$ , $(0, \frac{1}{9})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = \frac{1}{9}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 8 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(8 + e^{x}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$8 + e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2.6

総和則では、 $8 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{8 + e^{x} - (1 + x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 + e^{x} + (- 1 \cdot 1 - x) e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 + e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.3.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 + e^{x} - 1 e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.3.1.2

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$\frac{8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.3.2

$8 + e^{x} - e^{x} - x e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.4.3.2.1

$e^{x}$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{8 + 0 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.3.2.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 - x e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{x} x + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.5

$- 1$ を $- e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{- (e^{x} x) + 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.6

$8$ を $- 1 (- 8)$ に書き換えます。

$\frac{- (e^{x} x) - 1 (- 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.7

$- 1$ を $- (e^{x} x) - 1 (- 8)$ で因数分解します。

$\frac{- (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.8

$- (e^{x} x - 8)$ を $- 1 (e^{x} x - 8)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (e^{x} x - 8)}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.4.10

$- \frac{e^{x} x - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x e^{x} - 8}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 1.5

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$- \frac{(0) \cdot e^{0} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$0 \cdot e^{0}$ を ${(0 \cdot e^{0})}^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 8}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{{(0 \cdot e^{0})}^{3} - 2^{3}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 0 \cdot e^{0}$ であり、 $b = 2$ です。

$- \frac{(0 \cdot e^{0} - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4

簡約します。

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ステップ 1.6.1.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{(0 \cdot 1 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4.2

$0$ に $1$ をかけます。

$- \frac{(0 - 2) ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4.3

$0$ から $2$ を引きます。

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 0 \cdot e^{0} \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.6.1.4.4.1

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$0 \cdot e^{0} \cdot 2 = 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2$

ステップ 1.6.1.4.4.2

多項式を書き換えます。

$- \frac{- 2 ({(0 \cdot e^{0})}^{2} + 2 \cdot (0 \cdot e^{0}) \cdot 2 + 2^{2})}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4.4.3

$a = 0 \cdot e^{0}$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- \frac{- 2 {(0 \cdot e^{0} + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{- 2 {(0 \cdot 1 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4.6

$0$ に $1$ をかけます。

$- \frac{- 2 {(0 + 2)}^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.4.7

$0$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{- 2 \cdot 2^{2}}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(8 + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + e^{0})}^{2}}$

ステップ 1.6.2.2

$e^{0}$ を ${(e^{0})}^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(2^{3} + {(e^{0})}^{3})}^{2}}$

ステップ 1.6.2.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = e^{0}$ です。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + e^{0}) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4

簡約します。

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ステップ 1.6.2.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{((2 + 1) (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2^{2} - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 e^{0} + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 \cdot 1 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + {(e^{0})}^{2}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.6

${(e^{0})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.6.2.4.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0 \cdot 2}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.6.2

$0$ に $2$ をかけます。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + e^{0}))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.7

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (4 - 2 + 1))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.8

$4$ から $2$ を引きます。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 (2 + 1))}^{2}}$

ステップ 1.6.2.4.9

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{{(3 \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 1.6.2.5

積の法則を $3 \cdot 3$ に当てはめます。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{3^{2} \cdot 3^{2}}$

ステップ 1.6.2.6

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 3^{2}}$

ステップ 1.6.2.7

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{- 2 \cdot 4}{9 \cdot 9}$

ステップ 1.6.3

式を簡約します。

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ステップ 1.6.3.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{- 8}{9 \cdot 9}$

ステップ 1.6.3.2

$9$ に $9$ をかけます。

$- \frac{- 8}{81}$

ステップ 1.6.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{8}{81}$

ステップ 1.6.4

$- - \frac{8}{81}$ を掛けます。

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ステップ 1.6.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{8}{81})$

ステップ 1.6.4.2

$\frac{8}{81}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{81}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{8}{81}$ と与えられた点 $(0, \frac{1}{9})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{1}{9}) = \frac{8}{81} \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{8}{81} \cdot (x + 0)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - \frac{1}{9} = \frac{8}{81} \cdot x$

ステップ 2.3.1.2

$\frac{8}{81}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{1}{9} = \frac{8 x}{81}$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $\frac{1}{9}$ を足します。

$y = \frac{8 x}{81} + \frac{1}{9}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{8}{81} x + \frac{1}{9}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例