微分積分例

$x^{2} + x y - y^{2} = 5$ , $(3, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

微分します。

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ステップ 1.2.1.1

総和則では、 $x^{2} + x y - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 1.2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

ステップ 1.2.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

ステップ 1.2.4

項を並べ替えます。

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

ステップ 1.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

ステップ 1.5.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

ステップ 1.5.2

$y'$ を $x y' - 2 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 1.5.2.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

ステップ 1.5.2.2

$y'$ を $- 2 y y'$ で因数分解します。

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

ステップ 1.5.2.3

$y'$ を $y' (x) + y' (- 2 y)$ で因数分解します。

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

ステップ 1.5.3

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ の各項を $x - 2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ の各項を $x - 2 y$ で割ります。

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.2.1

$x - 2 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.3.3

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.5.3.3.5.1

$- (2 x + y)$ を $- 1 (2 x + y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

ステップ 1.5.3.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

ステップ 1.7

$y = 4$ と $x = 3$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$- \frac{2 (3) + y}{(3) - 2 y}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $4$ で置換えます。

$- \frac{2 (3) + 4}{(3) - 2 \cdot 4}$

ステップ 1.7.3

括弧を削除します。

$- \frac{2 (3) + 4}{(3) - 2 \cdot 4}$

ステップ 1.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.4.1

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{6 + 4}{3 - 2 \cdot 4}$

ステップ 1.7.4.2

$6$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{10}{3 - 2 \cdot 4}$

ステップ 1.7.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.5.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{10}{3 - 8}$

ステップ 1.7.5.2

$3$ から $8$ を引きます。

$- \frac{10}{- 5}$

ステップ 1.7.6

式を簡約します。

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ステップ 1.7.6.1

$10$ を $- 5$ で割ります。

$- - 2$

ステップ 1.7.6.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2$ と与えられた点 $(3, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = 2 \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = 2 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = 2 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = 2 x + 2 \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$y - 4 = 2 x - 6$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = 2 x - 6 + 4$

ステップ 2.3.2.2

$- 6$ と $4$ をたし算します。

$y = 2 x - 2$

ステップ 3

微分積分 例

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