微分積分例

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

ステップ 1

$x = \frac{π}{3}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2

$2 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$y = \sin (2 \frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2.2

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$y = \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 1.2.2.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$y = \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{π}{3}$ と $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 2.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.14

$x = \frac{π}{3}$ で微分係数を求めます。

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15

簡約します。

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ステップ 2.15.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.15.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$- 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.15.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.3.4.2

式を書き換えます。

$- 2 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.3.5

指数を求めます。

$- 2 \frac{3}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- 2 (\frac{3}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{3}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.5.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{3}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.5.4

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.6

$- 1 (\frac{3}{2})$ を $- (\frac{3}{2})$ に書き換えます。

$- (\frac{3}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{3}{2} + 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 2.15.1.8

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{3}{2} + 2 (\frac{1}{4})$

ステップ 2.15.1.11

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.11.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 (2)}$

ステップ 2.15.1.11.2

共通因数を約分します。

$- \frac{3}{2} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.15.1.11.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 2.15.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.15.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 + 1}{2}$

ステップ 2.15.2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.15.2.2.1

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2}{2}$

ステップ 2.15.2.2.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$- 1$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 1$ と与えられた点 $(\frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1 x - 1 (- \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x - 1 (- \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.5

$- 1 (- \frac{π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + 1 \frac{π}{3}$

ステップ 3.3.1.5.2

$\frac{π}{3}$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = - x + \frac{π}{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ を足します。

$y = - x + \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.3.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - x + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.3.3.1

$\frac{π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.3.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.3.3.3

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.3.4

$2$ に $3$ をかけます。

$y = - x + \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{6}$

ステップ 3.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - x + \frac{π \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

ステップ 3.3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.3.5.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$y = - x + \frac{2 \cdot π + \sqrt{3} \cdot 3}{6}$

ステップ 3.3.3.5.2

$3$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$y = - x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例