微分積分例

$f (x) = (1 - x) {(x^{2} - 6)}^{2}$ ; $(3, - 18)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = - 18$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = 1 - x$ および $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{2}] + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 6$ とします。

$(1 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - x) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 6$ で置き換えます。

$(1 - x) (2 (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ を $1 - x$ の左に移動させます。

$2 \cdot (1 - x) (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6] + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (2 x + 0) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (1 - x) (x^{2} - 6) (2 x) + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.3.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.3.11

式を簡約します。

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ステップ 1.3.11.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x + {(x^{2} - 6)}^{2} \cdot - 1$

ステップ 1.3.11.2

$- 1$ を ${(x^{2} - 6)}^{2}$ の左に移動させます。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x - 1 \cdot {(x^{2} - 6)}^{2}$

ステップ 1.3.11.3

$- 1 {(x^{2} - 6)}^{2}$ を $- {(x^{2} - 6)}^{2}$ に書き換えます。

$4 (1 - x) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$(4 \cdot 1 + 4 (- x)) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

ステップ 1.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$(4 + 4 (- x)) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

ステップ 1.4.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$(4 - 4 x) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$

ステップ 1.4.4

$x^{2} - 6$ を $(4 - 4 x) (x^{2} - 6) x - {(x^{2} - 6)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.4.1

$x^{2} - 6$ を $(4 - 4 x) (x^{2} - 6) x$ で因数分解します。

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x) - {(x^{2} - 6)}^{2}$

ステップ 1.4.4.2

$x^{2} - 6$ を $- {(x^{2} - 6)}^{2}$ で因数分解します。

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 6) (- (x^{2} - 6))$

ステップ 1.4.4.3

$x^{2} - 6$ を $(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x) + (x^{2} - 6) (- (x^{2} - 6))$ で因数分解します。

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 6))$

ステップ 1.4.5

$(x^{2} - 6) ((4 - 4 x) x - (x^{2} - 6))$ の因数を並べ替えます。

$((4 - 4 x) x - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

ステップ 1.4.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.6.1

分配則を当てはめます。

$(4 x - 4 x \cdot x - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

ステップ 1.4.6.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.4.6.2.1

$x$ を移動させます。

$(4 x - 4 (x \cdot x) - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

ステップ 1.4.6.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(4 x - 4 x^{2} - (x^{2} - 6)) (x^{2} - 6)$

ステップ 1.4.6.3

分配則を当てはめます。

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} - - 6) (x^{2} - 6)$

ステップ 1.4.6.4

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$(4 x - 4 x^{2} - x^{2} + 6) (x^{2} - 6)$

ステップ 1.4.7

$- 4 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$(4 x - 5 x^{2} + 6) (x^{2} - 6)$

ステップ 1.4.8

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(4 x - 5 x^{2} + 6) (x^{2} - 6)$ を展開します。

$4 x \cdot x^{2} + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.9.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.9.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$4 (x^{2} x) + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.4.9.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{2} x^{1}) + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{2 + 1} + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{3} + 4 x \cdot - 6 - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{2} x^{2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.9.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$4 x^{3} - 24 x - 5 (x^{2} x^{2}) - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{2 + 2} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} - 5 x^{2} \cdot - 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.4

$- 6$ に $- 5$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} + 30 x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot - 6$

ステップ 1.4.9.5

$6$ に $- 6$ をかけます。

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} + 30 x^{2} + 6 x^{2} - 36$

ステップ 1.4.10

$30 x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$4 x^{3} - 24 x - 5 x^{4} + 36 x^{2} - 36$

ステップ 1.5

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$4 {(3)}^{3} - 24 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 27 - 24 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

ステップ 1.6.1.2

$4$ に $27$ をかけます。

$108 - 24 \cdot 3 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

ステップ 1.6.1.3

$- 24$ に $3$ をかけます。

$108 - 72 - 5 {(3)}^{4} + 36 {(3)}^{2} - 36$

ステップ 1.6.1.4

$3$ を $4$ 乗します。

$108 - 72 - 5 \cdot 81 + 36 {(3)}^{2} - 36$

ステップ 1.6.1.5

$- 5$ に $81$ をかけます。

$108 - 72 - 405 + 36 {(3)}^{2} - 36$

ステップ 1.6.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$108 - 72 - 405 + 36 \cdot 9 - 36$

ステップ 1.6.1.7

$36$ に $9$ をかけます。

$108 - 72 - 405 + 324 - 36$

ステップ 1.6.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$108$ から $72$ を引きます。

$36 - 405 + 324 - 36$

ステップ 1.6.2.2

$36$ から $405$ を引きます。

$- 369 + 324 - 36$

ステップ 1.6.2.3

$- 369$ と $324$ をたし算します。

$- 45 - 36$

ステップ 1.6.2.4

$- 45$ から $36$ を引きます。

$- 81$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 81$ と与えられた点 $(3, - 18)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 18) = - 81 \cdot (x - (3))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 18 = - 81 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 81 \cdot (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 18 = 0 + 0 - 81 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 18 = - 81 \cdot (x - 3)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 18 = - 81 x - 81 \cdot - 3$

ステップ 2.3.1.4

$- 81$ に $- 3$ をかけます。

$y + 18 = - 81 x + 243$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $18$ を引きます。

$y = - 81 x + 243 - 18$

ステップ 2.3.2.2

$243$ から $18$ を引きます。

$y = - 81 x + 225$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例