微分積分例

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

ステップ 1

$x = \frac{π}{2}$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{π}{2}$ を $x$ に代入します。

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.2.2

$8 \sin (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$y = 8 \cdot 1 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.2.2.2

$8$ に $1$ をかけます。

$y = 8 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$y = 8 \cdot 0$

ステップ 1.2.2.4

$8$ に $0$ をかけます。

$y = 0$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{π}{2}$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 2.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.14

$x = \frac{π}{2}$ で微分係数を求めます。

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 2.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 8 \cdot 1^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 2.15.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 8 \cdot 1 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 2.15.1.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 2.15.1.4

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- 8 + 8 \cdot 0^{2}$

ステップ 2.15.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 8 + 8 \cdot 0$

ステップ 2.15.1.6

$8$ に $0$ をかけます。

$- 8 + 0$

ステップ 2.15.2

$- 8$ と $0$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $- 8$ と与えられた点 $(\frac{π}{2}, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = - 8 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = - 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$

ステップ 3.3.2

$- 8 \cdot (x - \frac{π}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = - 8 x - 8 (- \frac{π}{2})$

ステップ 3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - 8 x - 8 \frac{- π}{2}$

ステップ 3.3.2.2.2

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$y = - 8 x + 2 (- 4) \frac{- π}{2}$

ステップ 3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$y = - 8 x + 2 \cdot - 4 \frac{- π}{2}$

ステップ 3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$y = - 8 x - 4 (- π)$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = - 8 x + 4 π$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例