微分積分例

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = e$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.5

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

ステップ 1.6.1.2

簡約します。

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

ステップ 1.6.2

式を簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e \cdot 0}{1}$

ステップ 1.6.2.2

$e$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{1}$

ステップ 1.6.2.3

$0$ を $1$ で割ります。

$0$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $0$ と与えられた点 $(1, e)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $x - 1$ をかけます。

$y - e = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $e$ を足します。

$y = e$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例