微分積分例

$f (x) = (x - 4) (x^{2} + 8)$ , $(1, - 27)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = - 27$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = x^{2} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.2.3

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 4) (2 x + 0) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$(x - 4) (2 x) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.2.4.2

$2$ を $x - 4$ の左に移動させます。

$2 \cdot (x - 4) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.2.5

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.2.7

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + 0)$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) \cdot 1$

ステップ 1.2.8.2

$x^{2} + 8$ に $1$ をかけます。

$2 (x - 4) x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(2 x + 2 \cdot - 4) x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3.3

項をまとめます。

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ステップ 1.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3.3.5

$2$ に $- 4$ をかけます。

$2 x^{2} - 8 x + x^{2} + 8$

ステップ 1.3.3.6

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 8 x + 8$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$3 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 8$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 8$

ステップ 1.5.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 8 \cdot 1 + 8$

ステップ 1.5.1.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$3 - 8 + 8$

ステップ 1.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$3$ から $8$ を引きます。

$- 5 + 8$

ステップ 1.5.2.2

$- 5$ と $8$ をたし算します。

$3$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $3$ と与えられた点 $(1, - 27)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 27) = 3 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$3 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 27 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 27 = 3 x + 3 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y + 27 = 3 x - 3$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$y = 3 x - 3 - 27$

ステップ 2.3.2.2

$- 3$ から $27$ を引きます。

$y = 3 x - 30$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例