微分積分例

$y = \frac{4 x}{x + 2}$ , $(2, 2)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x}{x + 2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 2}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

$x + 2$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$4 \frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$4 \frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$4 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.5

$4$ と $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.6.6

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{8}{{((2) + 2)}^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{8}{4^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{8}{16}$

ステップ 1.5.2

$8$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 (1)}{16}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

ステップ 1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{1}{2}$ と与えられた点 $(2, 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (2) = \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 2 = \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 2 = \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 2 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y - 2 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y - 2 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

ステップ 2.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - 2 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - 2 = \frac{x}{2} - 1$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = \frac{x}{2} - 1 + 2$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x}{2} + 1$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{1}{2} x + 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例