微分積分例

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = - \frac{π}{4}$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\tan (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 1.3

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 1.4

$x = - \frac{π}{4}$ で微分係数を求めます。

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.3

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.4

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.5.5.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.6.4.2

式を書き換えます。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.5.6.5

指数を求めます。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.6.1

共通因数を約分します。

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.6.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.7.4.2

式を書き換えます。

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.7.5

指数を求めます。

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.8

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

ステップ 1.5.9

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

ステップ 1.5.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第四象限で負であるため、式を負にします。

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

ステップ 1.5.11

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$4 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.5.12

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 1.5.12.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot - 1$

ステップ 1.5.12.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 4$ と与えられた点 $(- \frac{π}{4}, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.1.4.2

共通因数を約分します。

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

ステップ 2.3.1.4.3

式を書き換えます。

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

ステップ 2.3.1.5

$- 1 π$ を $- π$ に書き換えます。

$y - 1 = - 4 x - π$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - 4 x - π + 1$

ステップ 3

微分積分 例

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