微分積分例

$f (x) = \ln (1 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

ステップ 1

$x = 1$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \ln (1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \ln (1 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = \ln (1 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

ステップ 1.2.3

括弧を削除します。

$y = \ln (1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

ステップ 1.2.4

$\ln (1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \ln (1 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

ステップ 1.2.4.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (1 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

ステップ 1.2.4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \ln (1 - 1 + 2 \cdot 1)$

ステップ 1.2.4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (1 - 1 + 2)$

ステップ 1.2.4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$y = \ln (0 + 2)$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$y = \ln (2)$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = \ln (2)$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 - x^{2} + 2 x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2} + 2 x^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2} + 2 x^{4}]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} + 2 x^{4}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2} + 2 x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} + 2 x^{4}]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $1 - x^{2} + 2 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ です。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

ステップ 2.2.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.2.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.2.9.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

ステップ 2.2.9.2

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ の因数を並べ替えます。

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}}$

ステップ 2.3

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

ステップ 2.4.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

ステップ 2.4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 + 2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 + 2}$

ステップ 2.4.1.5

$1$ から $1$ を引きます。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{0 + 2}$

ステップ 2.4.1.6

$0$ と $2$ をたし算します。

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2

項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.1.3

$8$ に $1$ をかけます。

$(- 2 + 8) \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$- 2$ と $8$ をたし算します。

$6 (\frac{1}{2})$

ステップ 2.4.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$3$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $3$ と与えられた点 $(1, \ln (2))$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\ln (2)) = 3 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \ln (2) = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$3 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \ln (2) = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \ln (2) = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \ln (2) = 3 x + 3 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y - \ln (2) = 3 x - 3$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\ln (2)$ を足します。

$y = 3 x - 3 + \ln (2)$

ステップ 4

微分積分 例

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