微分積分例

$\int (x + 3) {(x - 1)}^{5} d x$

ステップ 1

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u + 1 + 3) u^{5} d u$

ステップ 2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int (u + 4) u^{5} d u$

ステップ 3

$(u + 4) u^{5}$ を掛けます。

$\int u \cdot u^{5} + 4 u^{5} d u$

ステップ 4

指数を足して $u$ に $u^{5}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$u$ に $u^{5}$ をかけます。

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ステップ 4.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{5} + 4 u^{5} d u$

ステップ 4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 5} + 4 u^{5} d u$

ステップ 4.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$\int u^{6} + 4 u^{5} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{6} d u + \int 4 u^{5} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 4 u^{5} d u$

ステップ 7

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 \int u^{5} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$\frac{1}{7} u^{7} + 4 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$4$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{4}{6} u^{6} + C$

ステップ 9.2.2

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 (2)}{6} u^{6} + C$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

ステップ 9.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

ステップ 9.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2}{3} u^{6} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{6} + C$

微分積分 例

微分積分例