微分積分例

$\int \frac{6 x^{2}}{{(4 x^{3} - 9)}^{3}} d x$

ステップ 1

$u = 4 x^{3} - 9$ とします。次に $d u = 12 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 x^{3} - 9$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{3} - 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 x^{3} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{2}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{6}{u^{3}} \cdot \frac{1}{12} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{6}{u^{3}}$ に $\frac{1}{12}$ をかけます。

$\int \frac{6}{u^{3} \cdot 12} d u$

ステップ 2.2

$12$ を $u^{3}$ の左に移動させます。

$\int \frac{6}{12 \cdot u^{3}} d u$

ステップ 2.3

$6$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\int \frac{6 (1)}{12 u^{3}} d u$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

$6$ を $12 u^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{6 (1)}{6 (2 u^{3})} d u$

ステップ 2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{6 \cdot 1}{6 (2 u^{3})} d u$

ステップ 2.3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ を $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ を $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 u^{2}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

ステップ 6.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $4 x^{3} - 9$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4 {(4 x^{3} - 9)}^{2}} + C$

微分積分 例

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