微分積分例

$\int \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{4}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = x - 1$ とします。次に $d u_{1} = d x$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u_{1} = x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{{(u_{1} + 1)}^{2}}{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${u_{1}}^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1}$

ステップ 2.2

${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1}$

ステップ 2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{- 4} d u_{1}$

ステップ 3

$u_{2} = u_{1} + 1$ とします。次に $d u_{2} = d u_{1}$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{2} = u_{1} + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$u_{1} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $u_{1} + 1$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

ステップ 3.1.4

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 1)}^{- 4} d u_{2}$

ステップ 4

$u_{3} = u_{2} - 1$ とします。次に $d u_{3} = d u_{2}$ 。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{3} = u_{2} - 1$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$u_{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $u_{2} - 1$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

ステップ 4.1.4

$- 1$ は $u_{2}$ について定数なので、 $u_{2}$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${(u_{3} + 1)}^{2}$ を $(u_{3} + 1) (u_{3} + 1)$ に書き換えます。

$\int (u_{3} + 1) (u_{3} + 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} (u_{3} + 1) + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.5

分配則を当てはめます。

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.7

分配則を当てはめます。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.8

$u_{3}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.9

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.10

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{2 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.14

$2$ から $4$ を引きます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.15

$u_{3}$ に $1$ をかけます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.16

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.18

$1$ から $4$ を引きます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.19

$u_{3}$ に $1$ をかけます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.20

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.22

$1$ から $4$ を引きます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.23

$1$ に $1$ をかけます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.24

${u_{3}}^{- 4}$ に $1$ をかけます。

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 5.25

${u_{3}}^{- 3}$ と ${u_{3}}^{- 3}$ をたし算します。

$\int {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 7

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- 2}$ の $u_{3}$ に関する積分は $- {u_{3}}^{- 1}$ です。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 8

$2$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 \int {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- 3}$ の $u_{3}$ に関する積分は $- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2}$ です。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

${u_{3}}^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{{u_{3}}^{- 2}}{2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${u_{3}}^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

ステップ 11

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- 4}$ の $u_{3}$ に関する積分は $- \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3}$ です。

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

簡約します。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

ステップ 12.2

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$ を $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$

ステップ 12.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$\frac{1}{{u_{3}}^{3}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{{u_{3}}^{3} \cdot 3} + C$

ステップ 12.3.2

$3$ を ${u_{3}}^{3}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3 {u_{3}}^{3}} + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$u_{3}$ のすべての発生を $u_{2} - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{u_{2} - 1} - \frac{1}{{(u_{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{2} - 1)}^{3}} + C$

ステップ 13.2

$u_{2}$ のすべての発生を $u_{1} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{u_{1} + 1 - 1} - \frac{1}{{(u_{1} + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{1} + 1 - 1)}^{3}} + C$

ステップ 13.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{x - 1 + 1 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{x + 0 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

ステップ 14.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

ステップ 14.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x + 0 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

ステップ 14.4

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

ステップ 14.5

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x + 0 - 1)}^{3}} + C$

ステップ 14.6

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例