微分積分例

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

ステップ 1

$u = 1 - r$ とします。次に $d u = - d r$ すると、 $- d u = d r$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - r$ とします。 $\frac{d u}{d r}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - r$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - r$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ です。

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d r} [- r]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $r$ に対して定数なので、 $r$ に対する $- r$ の微分係数は $- \frac{d}{d r} [r]$ です。

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

ステップ 4

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

ステップ 5.2

$u^{7}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

ステップ 5.3

${(u^{7})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

ステップ 5.3.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

ステップ 6

$(- u + 1) u^{- 7}$ を掛けます。

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

指数を足して $u$ に $u^{- 7}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.1

$u^{- 7}$ を移動させます。

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

ステップ 7.1.2

$u^{- 7}$ に $u$ をかけます。

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ステップ 7.1.2.1

$u$ を $1$ 乗します。

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

ステップ 7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

ステップ 7.1.3

$- 7$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

ステップ 7.2

$u^{- 7}$ に $1$ をかけます。

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{- 6}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ です。

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$u^{- 5}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 5}$ を分母に移動させます。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{- 7}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ です。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

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ステップ 13.1.1

$u^{- 6}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

ステップ 13.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 6}$ を分母に移動させます。

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

ステップ 13.2

簡約します。

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $1 - r$ で置き換えます。

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$

微分積分 例

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