微分積分例

$\int \ln (2 x + 1) d x$

ステップ 1

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\ln (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

ステップ 4

$w = \ln (u)$ と $dv = 1$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$u$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

ステップ 5.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

ステップ 9.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

ステップ 9.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\ln (2 x + 1)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

ステップ 9.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

ステップ 9.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

ステップ 9.3.3

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4

各項を簡約します。

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ステップ 9.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.3

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.4.2

式を書き換えます。

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.5

$\ln (2 x + 1) x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.6

$\ln (2 x + 1) x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.8

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.8.1

$\ln (2 x + 1)$ を $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 9.4.8.1.1

$\ln (2 x + 1)$ を $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.8.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.8.1.3

$\ln (2 x + 1)$ を $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.8.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

ステップ 9.4.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

ステップ 9.5

公分母の分子をまとめます。

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$

微分積分 例

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