微分積分例

$\int \sin^{5} (3 x) \cos (3 x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \sin (3 x)$ とします。次に $d u_{2} = 3 \cos (3 x) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = \cos (3 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \sin (3 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (3 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (3 x) (3 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\cos (3 x) \cdot 3$

ステップ 1.1.3.3.2

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$3 \cos (3 x)$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{5} \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 2

${u_{2}}^{5}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{{u_{2}}^{5}}{3} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{5} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 ${u_{2}}^{5}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$

ステップ 5.2

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ を $\frac{1}{18} {u_{2}}^{6} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{6} + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (3 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{18} \sin^{6} (3 x) + C$

微分積分 例

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