微分積分例

$\int \sqrt{x^{2} + 2 x} d x$

ステップ 1

平方を完成させます。

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ステップ 1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$d = 1$

ステップ 1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.4.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4}{4}$

ステップ 1.4.2.1.3.2

式を書き換えます。

$e = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.4.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - 1$

ステップ 1.4.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$e = - 1$

ステップ 1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 1)}^{2} - 1$ に代入します。

$\int \sqrt{{(x + 1)}^{2} - 1} d x$

ステップ 2

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u^{2} - 1} d u$

ステップ 3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec (t) \tan (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 4.2.2

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 4.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 4.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 5

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 9

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 10

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 11

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 12

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 13

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 14

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 16

式を簡約します。

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ステップ 16.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 16.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 17

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 18

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 18.1

累乗法を積に書き換えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 18.2

分配則を当てはめます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 18.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 19

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

ステップ 20

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 22

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 23

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 24

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

ステップ 25

$2$ と $1$ をたし算します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 26

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 27

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 28

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 29

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 29.1

分配則を当てはめます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 29.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 30

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

ステップ 31

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

ステップ 32

簡約します。

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 33

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 33.1

$t$ のすべての発生を $arcsec (u)$ で置き換えます。

$- \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (u)) \tan (arcsec (u)) + \ln (| \sec (arcsec (u)) + \tan (arcsec (u)) |)) + C$

ステップ 33.2

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x + 1)) \tan (arcsec (x + 1)) + \ln (| \sec (arcsec (x + 1)) + \tan (arcsec (x + 1)) |)) + C$

微分積分 例

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