微分積分例

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \ln (x^{2})$ とします。次に $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \ln (x^{2})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x^{2})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

ステップ 1.1.3.2

項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{x^{2}} x$

ステップ 1.1.3.2.2

$\frac{2}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.3.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 1.1.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

ステップ 1.1.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x}$

ステップ 1.2

$u_{2} = \ln (x^{2})$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = \ln (1)$

ステップ 1.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{2} = \ln (x^{2})$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

${(e^{8})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

ステップ 1.5.1.2

$8$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

ステップ 1.5.2

対数の法則を利用して指数の外に $16$ を移動します。

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

ステップ 1.5.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

ステップ 1.5.4

$16$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 16$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 3

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$16$ および $0$ で $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 4.2

$16$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 4.3

$\frac{1}{3}$ と $4096$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

ステップ 4.4.2

簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

ステップ 4.4.2.2

$0$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

ステップ 4.4.3

$\frac{4096}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

ステップ 4.4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4096}{3}$ をかけます。

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.4.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{4096}{6}$

ステップ 4.4.4.3

$4096$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.3.1

$2$ を $4096$ で因数分解します。

$\frac{2 (2048)}{6}$

ステップ 4.4.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.4.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.4.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2048}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2048}{3}$

10進法形式：

$682.\overline{6}$

帯分数形：

$682 \frac{2}{3}$

微分積分 例

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