微分積分例

$\int 12 {(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{2} (y^{3} + 2 y) d y$

ステップ 1

$u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ とします。次に $d u = (4 y^{3} + 8 y) d y$ すると、 $\frac{1}{4} d u = (y^{3} + 2 y) d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = y^{4} + 4 y^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$y^{4} + 4 y^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{4} + 4 y^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y^{3} + \frac{d}{d y} [4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d y} [4 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $4 y^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$4 y^{3} + 4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 y^{3} + 4 (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$4 y^{3} + 8 y + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 y^{3} + 8 y + 0$

ステップ 1.1.4.2

$4 y^{3} + 8 y$ と $0$ をたし算します。

$4 y^{3} + 8 y$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$\int 3 u^{2} \frac{4}{4} d u$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$\int 3 u^{2} \cdot 1 d u$

ステップ 2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\int 3 u^{2} d u$

ステップ 3

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int u^{2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ に書き換えます。

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

ステップ 5.2

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ を $1 u^{3} + C$ に書き換えます。

$1 u^{3} + C$

ステップ 5.3

$u^{3}$ に $1$ をかけます。

$u^{3} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $y^{4} + 4 y^{2} + 1$ で置き換えます。

${(y^{4} + 4 y^{2} + 1)}^{3} + C$

微分積分 例

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