微分積分例

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{x^{3}}$ と $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$1 - \frac{1}{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.8

$x$ を $1$ 乗します。

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.10

$1$ から $4$ を引きます。

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.1.3.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$0 + 2 x^{- 3}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 2.1.4.2.2

$0$ と $\frac{2}{x^{3}}$ をたし算します。

$\frac{2}{x^{3}}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 5

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $1 - \frac{1}{x^{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例