微分積分例

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

ステップ 1

$u_{2} = \csc (π A)$ とします。次に $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ すると、 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \csc (π A)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d A}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\csc (π A)$ を微分します。

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

ステップ 1.1.2

$f (A) = \csc (A)$ および $g (A) = π A$ のとき、 $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ は $f' (g (A)) g' (A)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $π A$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\csc (u_{1})$ の微分係数は $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ です。

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $π A$ で置き換えます。

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$π$ は $A$ に対して定数なので、 $A$ に対する $π A$ の微分係数は $π \frac{d}{d A} [A]$ です。

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ は $n A^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

ステップ 1.1.3.3.2

$- \csc (π A) \cot (π A) π$ の因数を並べ替えます。

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \csc (π A)$ の $A$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$π$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

ステップ 1.3.2

$\csc (\frac{π}{6})$ の厳密値は $2$ です。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u_{2} = \csc (π A)$ の $A$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$π$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5.2

$\csc (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

ステップ 2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ および $2$ で $- \frac{1}{π} u_{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

ステップ 4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

ステップ 4.3

$\frac{1}{π}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 2}{π}$

ステップ 4.4.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{π}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{π}$

10進法形式：

$0.31830988 \dots$

微分積分 例

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