微分積分例

$\int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = - x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 2.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.1.6

公分母の分子をまとめます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 2.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 2.1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

ステップ 3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int - 2 e^{u} d u$

ステップ 4

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 \int e^{u} d u$

ステップ 5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- 2 (e^{u} + C)$

ステップ 6

簡約します。

$- 2 e^{u} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $- x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

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