微分積分例

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

ステップ 1

$u = 5 - 3 x$ とします。次に $d u = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 5 - 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$5 - 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $5 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.2.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 - 3$

ステップ 1.1.4

$0$ から $3$ を引きます。

$- 3$

ステップ 1.2

$u = 5 - 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$u_{lower} = 5 - 6$

ステップ 1.3.2

$5$ から $6$ を引きます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 1.4

$u = 5 - 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 5 - 12$

ステップ 1.5.2

$5$ から $12$ を引きます。

$u_{upper} = - 7$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

ステップ 2.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

ステップ 2.3

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

ステップ 6

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ステップ 6.1

$- 7$ および $- 1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

ステップ 6.2

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ステップ 6.2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

ステップ 6.2.2

$\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 7$ と $0$ の間の距離は $7$ です。

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

ステップ 6.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

ステップ 6.3.3

$7$ を $1$ で割ります。

$- \frac{\ln (7)}{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\ln (7)}{3}$

10進法形式：

$- 0.64863671 \dots$

微分積分 例

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