微分積分例

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 2.2

$2$ を $1 + 3^{u_{1}}$ の左に移動させます。

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ とします。次に $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + 3^{u_{1}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $1 + 3^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

ステップ 4.1.2.2

$1$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

ステップ 4.1.3

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

ステップ 4.1.4

$0$ と $3^{u_{1}} \ln (3)$ をたし算します。

$3^{u_{1}} \ln (3)$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{\ln (3)}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{\ln (3)}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{\ln (3)}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{\ln (3)}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.2

$2$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + 3^{u_{1}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$

微分積分 例

微分積分例