微分積分例

$\int {(1 + 2 x)}^{4} \cdot 3 x d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int 3 {(1 + 2 x)}^{4} x d x$

ステップ 2.2

二項定理を利用します。

$\int 3 (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$\int 3 (1 + 4 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.6

$6$ に $1$ をかけます。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.7

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (2^{2} x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.8

$2$ を $2$ 乗します。

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (4 x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.9

$4$ に $6$ をかけます。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.10

$4$ に $1$ をかけます。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.11

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (2^{3} x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.12

$2$ を $3$ 乗します。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (8 x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.13

$8$ に $4$ をかけます。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

ステップ 2.3.14

積の法則を $2 x$ に当てはめます。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 2^{4} x^{4}) x d x$

ステップ 2.3.15

$2$ を $4$ 乗します。

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 16 x^{4}) x d x$

ステップ 2.4

分配則を当てはめます。

$\int (3 \cdot 1 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\int (3 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

ステップ 2.5.2

$8$ に $3$ をかけます。

$\int (3 + 24 x + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

ステップ 2.5.3

$24$ に $3$ をかけます。

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

ステップ 2.5.4

$32$ に $3$ をかけます。

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 3 (16 x^{4})) x d x$

ステップ 2.5.5

$16$ に $3$ をかけます。

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 48 x^{4}) x d x$

ステップ 2.6

分配則を当てはめます。

$\int 3 x + 24 x \cdot x + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$x$ を移動させます。

$\int 3 x + 24 (x \cdot x) + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x \cdot x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x^{1} x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{1 + 2} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.3

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$x$ を移動させます。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x \cdot x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.3.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x^{1} x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{1 + 3} + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{4} x d x$

ステップ 2.7.4

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1

$x$ を移動させます。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x \cdot x^{4}) d x$

ステップ 2.7.4.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x^{1} x^{4}) d x$

ステップ 2.7.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{1 + 4} d x$

ステップ 2.7.4.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{5} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 3 x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 6

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $24$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 8

$72$ は $x$ に対して定数なので、 $72$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 \int x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 10

$96$ は $x$ に対して定数なので、 $96$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 \int x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{5} x^{5}$ です。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 48 x^{5} d x$

ステップ 12

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $48$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 \int x^{5} d x$

ステップ 13

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

簡約します。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

ステップ 14.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$\frac{1}{6}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 \frac{x^{6}}{6} + C$

ステップ 14.2.2

$48$ と $\frac{x^{6}}{6}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{48 x^{6}}{6} + C$

ステップ 14.2.3

$48$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.3.1

$6$ を $48 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6} + C$

ステップ 14.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.3.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 (1)} + C$

ステップ 14.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 \cdot 1} + C$

ステップ 14.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{8 x^{6}}{1} + C$

ステップ 14.2.3.2.4

$8 x^{6}$ を $1$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 8 x^{6} + C$

ステップ 14.3

項を並べ替えます。

$\frac{3}{2} x^{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96}{5} x^{5} + 8 x^{6} + C$

微分積分 例

微分積分例