微分積分例

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (π x)$ とします。次に $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ すると、 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (π x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (π x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $π x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$- \sin (π x) π$

ステップ 1.1.3.3.2

$- \sin (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$- π \sin (π x)$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{π}$ と $e^{u_{2}}$ をまとめます。

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{π}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 5

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (π x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$

微分積分 例

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