微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

ステップ 1

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.2

$u = \sec (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sec (0)$

ステップ 1.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \sec (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\sec (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{2}{\sqrt{2}}$ です。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.5.2

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 1.5.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 1.5.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 1.5.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 1.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 1.5.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 1.5.3.6.5

指数を求めます。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.5.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$u_{upper} = \sqrt{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}}$

ステップ 3

累乗根で指数を約分し簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{2}$ および $1$ で $\frac{1}{2} u^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 2^{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.2.5

指数を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.3.1.2.2

式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

ステップ 3.3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 3.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - 1}{2}$

ステップ 3.3.3.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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