微分積分例

$\int (x + 1) \tan^{2} (3 x^{2} + 6 x) \sec^{2} (3 x^{2} + 6 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ とします。次に $d u_{1} = (6 x + 6) d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{1} = (x + 1) d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x^{2} + 6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x^{2} + 6 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x + 6 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 x + 6$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{6}$ と $\tan^{2} (u_{1})$ をまとめます。

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{6} \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{\tan^{2} (u_{1})}{6}$ と $\sec^{2} (u_{1})$ をまとめます。

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})}{6} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\tan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1})$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 5

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ を $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ を $\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$

ステップ 7

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 7.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{18} \tan^{3} (u_{1}) + C$

ステップ 7.2

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x^{2} + 6 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{18} \tan^{3} (3 x^{2} + 6 x) + C$

微分積分 例

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