微分積分例

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

ステップ 1

$u = 4 + 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 + 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 + 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $4 + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 3$

ステップ 1.1.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.2

$u = 4 + 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 4 + 0$

ステップ 1.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 1.4

$u = 4 + 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ に $7$ をかけます。

$u_{upper} = 4 + 21$

ステップ 1.5.2

$4$ と $21$ をたし算します。

$u_{upper} = 25$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$25$ および $4$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.4

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{2}{3}$ と $125$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.3.2

$2$ に $125$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

ステップ 6.4.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

ステップ 6.5.2

$- 8$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

ステップ 6.5.3

$- 8$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

ステップ 6.5.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

ステップ 6.6

簡約します。

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ステップ 6.6.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

ステップ 6.6.2

$250$ から $16$ を引きます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

ステップ 6.6.3

$234$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.3.1

$3$ を $234$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

ステップ 6.6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

ステップ 6.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

ステップ 6.6.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

ステップ 6.6.3.2.4

$78$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} \cdot 78$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{1}{3}$ と $78$ をまとめます。

$\frac{78}{3}$

ステップ 6.7.2

$78$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.2.1

$3$ を $78$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

ステップ 6.7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.7.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

ステップ 6.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{26}{1}$

ステップ 6.7.2.2.4

$26$ を $1$ で割ります。

$26$

微分積分 例

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