微分積分例

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

ステップ 1

$u = 4 + r^{2}$ とします。次に $d u = 2 r d r$ すると、 $\frac{1}{2} d u = r d r$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 + r^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d r}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 + r^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 + r^{2}$ の $r$ に関する積分は $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ です。

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 1.1.3

$4$ は $r$ について定数なので、 $r$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ は $n r^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 r$

ステップ 1.1.5

$0$ と $2 r$ をたし算します。

$2 r$

ステップ 1.2

$u = 4 + r^{2}$ の $r$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u_{lower} = 4 + 1$

ステップ 1.3.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 5$

ステップ 1.4

$u = 4 + r^{2}$ の $r$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 4 + 1$

ステップ 1.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{5}{u^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u^{2}$ の左に移動させます。

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

ステップ 3

$\frac{5}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{5}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

ステップ 6

$5$ および $5$ で $- u^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

ステップ 7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

ステップ 8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

ステップ 9

$- \frac{1}{5}$ と $\frac{1}{5}$ をたし算します。

$\frac{5}{2} \cdot 0$

ステップ 10

$\frac{5}{2}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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