微分積分例

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

ステップ 1

$u = z^{2}$ とします。次に $d u = 2 z d z$ すると、 $\frac{1}{2 z} d u = d z$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = z^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d z}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$z^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 z$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u}}^{6}$ を $u^{3}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.2

${\sqrt{u}}^{8}$ を $u^{4}$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

ステップ 2.2.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

ステップ 2.2.4.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

ステップ 3

$u^{3} (5 u^{4} - 2)$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

ステップ 3.2

$u^{3}$ と $5$ を並べ替えます。

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

ステップ 3.3

$u^{3}$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

ステップ 3.5

$3$ と $4$ をたし算します。

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

ステップ 5

$5$ は $u$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

ステップ 7

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

ステップ 9.2

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ を $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ に書き換えます。

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

ステップ 9.3.2

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

ステップ 9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $z^{2}$ で置き換えます。

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$

微分積分 例

微分積分例