微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} d x$

ステップ 1

$u = 1 - 2 x^{2}$ とします。次に $d u = - 4 x d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - 2 x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - 2 x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$0 - 4 x$

ステップ 1.1.4

$0$ から $4 x$ を引きます。

$- 4 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{4}) d u$

ステップ 3

$- \frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (- u + 1)}$ を ${(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

積の法則を $2 (- u + 1)$ に当てはめます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.2.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.2.3

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2 - 1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.2.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.3.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.3.4

積の法則を $\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

${({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.1.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.2

簡約します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.3

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.3.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.3.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{1}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.4

指数を求めます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4.4.5

$\frac{- u + 1}{2}$ と $u^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 4.4.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 6.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{8} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 6.2.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 6.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

$(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{8} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.2

負をくくり出します。

$- \frac{1}{8} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.3

$u$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{8} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{8} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.7

$2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.8

$u^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7.9

$- u^{\frac{1}{2}}$ と $u^{- \frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$- \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{8} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

ステップ 12

簡約します。

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

ステップ 14.1.2

$2$ を ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 14.2

$2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 14.3

$2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{8} (\frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 14.5

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 14.6

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を掛けます。

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ステップ 14.6.1

$\frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8} + C$

ステップ 14.6.2

$3$ に $8$ をかけます。

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{24} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{24} (6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例