微分積分例

$\int_{0}^{13} \frac{1}{\sqrt[3]{{(1 + 2 x)}^{2}}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 1.1.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u = 1 + 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 1.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 1 + 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 13$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $13$ をかけます。

$u_{upper} = 1 + 26$

ステップ 1.5.2

$1$ と $26$ をたし算します。

$u_{upper} = 27$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 27$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}} \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $\sqrt[3]{u^{2}}$ の左に移動させます。

$\int_{1}^{27} \frac{1}{2 \sqrt[3]{u^{2}}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u^{2}}$ を $u^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- \frac{2}{3}}$ の $u$ に関する積分は $3 u^{\frac{1}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} 3 u^{\frac{1}{3}}]_{1}^{27}$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

$27$ および $1$ で $3 u^{\frac{1}{3}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((3 \cdot 27^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3^{1} - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.2.4

指数を求めます。

$\frac{1}{2} (3 \cdot 3 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} (9 - 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}})$

ステップ 6.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (9 - 3 \cdot 1)$

ステップ 6.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (9 - 3)$

ステップ 6.3.4

$9$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot 6$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2}$

ステップ 6.4.2

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

ステップ 6.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1}$

ステップ 6.4.2.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3$

微分積分 例

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