微分積分例

$\int x^{2} e^{2 x} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ と $e^{u_{1}}$ をまとめます。

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {u_{2}}^{2} e^{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$u = {u_{2}}^{2}$ と $d v = e^{2 u_{2}}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{2} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{u_{3}}$ をまとめます。

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

ステップ 5.2

${u_{2}}^{2}$ と $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6

$\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{u_{3}}$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}}}{2} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 7.2

$\frac{e^{u_{3}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{2} \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 7.3

$2$ を $e^{u_{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 \cdot e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

ステップ 7.4.2

$e^{u_{3}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2})$

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 8

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と ${u_{2}}^{2}$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

ステップ 9.2

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ を $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$ に書き換えます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

ステップ 10

括弧を削除します。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ と ${u_{2}}^{2}$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

ステップ 11.2

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ と $e^{u_{3}}$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

ステップ 11.3

${u_{2}}^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} + C$

ステップ 11.4

$e^{u_{3}}$ と $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2} + C$

ステップ 11.5

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ から $\frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2}$ を引きます。

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ステップ 11.5.1

$e^{u_{3}}$ と ${u_{2}}^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

ステップ 11.5.2

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ から $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ を引きます。

$0 + C$

ステップ 11.6

$0$ と $C$ をたし算します。

$C$

微分積分 例

微分積分例