微分積分例

$\int x^{2} e^{- x} d x$

ステップ 1

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

ステップ 2.2

積の法則を $- (u)$ に当てはめます。

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

ステップ 2.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

ステップ 2.4

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int - u^{2} e^{u} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u^{2} e^{u} d u$

ステップ 4

$w = u^{2}$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

ステップ 5

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

ステップ 6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

ステップ 7

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

ステップ 9

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ を $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ に書き換えます。

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

ステップ 11.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

ステップ 11.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

ステップ 11.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

ステップ 11.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$

微分積分 例

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