微分積分例

$\int_{0}^{1} (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + x$ とします。次に $d u = (2 x + 1) d x$ すると、 $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 1$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 0$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 0$

ステップ 1.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{2} e^{u} d u$

ステップ 2

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{u}]_{0}^{2}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(e^{2}) - e^{0}$

ステップ 3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{2} - 1$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{2} - 1$

10進法形式：

$6.38905609 \dots$

微分積分 例

微分積分例