微分積分例

$\int \frac{2 x + 1}{\sqrt{x + 4}} d x$

ステップ 1

$u = x + 4$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 (u - 4) + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (2 (u - 4) + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(2 (u - 4) + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int (2 u + 2 \cdot - 4 + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int (2 u + 2 \cdot - 4) u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\int 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$u$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.8

$2$ から $1$ を引きます。

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 4 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.9

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.10

$u^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 8 u^{- \frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.11

$- 8 u^{- \frac{1}{2}}$ と $u^{- \frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

$- 7$ は $u$ に対して定数なので、 $- 7$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - 7 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ を $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 7 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.3

$- 7$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - 14 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$\frac{4}{3} {(x + 4)}^{\frac{3}{2}} - 14 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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